NOTIUNI INTRODUCTIVE

[ Matematica pentru jocurile de loterie ]

1. Elemente de teoria multimilor

Notiunea de multime este primarã, în sensul cã nu poate fi definitã cu ajutorul altor notiuni mai simple. În matematicã, cuvântul multime marcheazã orice colectie de obiecte sau simboluri. Colectia trebuie sã fie bine definitã, în sensul cã se poate decide întotdeauna asupra apartenentei sau neapartenentei unui obiect la colectia consideratã. Practic, a preciza o multime înseamnã a enumera obiectele care o compun sau a indica proprietatea comunã care caracterizeazã aceste obiecte. De exemplu: N = {0,1,2,3,4,…} este binecunoscuta multime a numerelor naturale. Aceeasi multime a numerelor naturale mai poate fi scrisã si astfel:

N = { x | x este numãr natural}.

O multime poate contine un numãr finit sau un numãr infinit de elemente. Dacã o multime nu contine nici un element o vom numi multime vidã si o vom nota cu litera greceascã t.
Pentru a evidentia faptul cã un element apartine sau nu apartine unei multimi date vom utiliza simbolurile matematice de apartenentã t, sau de neapartenentã t. De exemplu, xt{1,x,2,y}, sau 3t{a,1,2,b,8,c}.
Dacã toate elementele unei multimi A apartin si unei alte multimi B, vom spune cã A este o submultime a multimii B si vom scrie acest lucru utilizând simbolul matematic de incluziune, A t B. Simbolul t semnificã o incluyiune strictã, astfel încât, cu sigurantã multimea B are cel putin un element care nu existã si în multimea A. Pe lângã acest simbol vom mai putea folosi si urmatoarele simboluri, care au semnificatia:
t - pentru incluziunea care poate asigura si egalitatea de elemente a celor douã multimi
t - pentru a preciza neincluziunea
t - pentru incluziunea strictã a celei de-a doua multimi în prima
t - pentru incluziunea si cu posibilitatea de egalitate a celei de-a doua multimi în prima.
Prin conventie, multimea vidã t se considerã a fi submultime pentru orice multime datã.
Ideea de multime poate fi reîntregitã prin conceptul de multimi egale, adicã multimile care au aceleasi elemente. Acest concept poate fi suficient dacã am defini egalitatea a douã multimi prin urmãtoarea declaratie:
A = B dacã si numai dacã AtB si BtA.
Având de-a face cu multimi de aceeasi naturã, în sensul cã elementele acestora fac parte dintr-o aceeasi colectie mai amplã de obiecte numitã multime totalã sau multime universalã, pe care o notãm cu T, putem indroduce urmãtoarele operatii importante:

(1) - În acest capitol nu vom prezenta nici o demonstratie a vreunui rezultat sau a vreunei teoreme sau formule. Scopul este doar acela de a prezenta principalele instrumente matematice utilizate în capitolele care urmeazã. Cititorul interesat poate gãsi demonstratiile si alte amãnunte în câteva din cãrtile prezentate în bibliografia de la sfârsitul lucrãrii sau în manualelee scolare de clasa a X-a si a XI-a.

1°. Reuniunea a douã multimi A si B, notatã prin A U B, reprezintã multimea elementelor care apartin sau lui A sau lui B.

2°. Intersectia a douã multimi A si B, notatã prin A t B, reprezintã multimea elementelor care apartin si lui A si lui B. Dacã A t B = t, spunem cã multimile A si B sunt disjuncte.

3°. Diferenta a douã multimi A si B, notatã prin A - B, reprezintã multimea elementelor care apartin lui A si nu apartin lui B.

4°. Complementara unei multimi A fatã de o multime mai amplã, de exemplu multimea totalã T, notatã prin tA, sau prin CTA, reprezintã multimea elementelor care apartin lui T si nu apartin lui A, altfel spus: tA = T-A.

2. Elemente de combinatoricã

Deseori suntem pusi în situatia de a evalua numãrul unor grupãri care se pot forma cu obiectele unei multimi date.
Fie M o multime datã, finitã, cu elementele sale notate astfel: x1, x2, x3,…, xn. O grupare cu k elemente ale multimii M este o succesiune de k elemente, 1tktn, distincte sau nu. O grupare este caracterizatã prin: obiectele din care este formatã si ordinea în care acestea sunt considerate. O grupare de trei elemente poate fi, de exemplu, urmãtoarea:

(x5, x1, x12).

Douã grupãri, de exemplu (x1, x2,…, xp) si (y1, y2,…, yq), sunt identice dacã si numai dacã p=q si xi = yi
pentru orice i = 1, 2, …, p. Îna cazul în care cel putin una din aceste conditii nu este îndeplinitã atunci grupãrile se numesc distincte.

2.1. Permutãri
Fie M o multime cu n elemente distincte, M = { x1, x2,…, xn}. Orice grupare cu n elemente distincte ale multimii M se numeste permutare asupra multimii M. Ca exemplu considerãm multimea M cu elementele {1,2,3}. Permutãrile acestei multimi sunt urmãtoarele: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).
Grupãrile cu trei elemente (2,1,2) sau (3,3,3) nu sunt permutãri asupra multimii M deoarece elementele lor nu sunt distincte.
Numãrul permutãrilor asupra unei multimi cu n elemente distincte se noteazã cu Pn sau cu n! (se citeste "n factorial") si este egal cu produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n.
Asadar,

Pn = n! = 1.2.3.… .n (1.1)

Prin conventie se considerã cã 0!=1.
Una dintre cele mai utile proprietãti legate de permutãri este urmãtoarea egalitate evidentã:

Pn+1 = (n+1).Pn (1.2)

2.2. Aranjamente
Fie M o multime de n elemente distincte, nt2. Grupãrile cu k elemente distincte ale multimii M, 1tktn, se numesc aranjamente de n obiecte luate câte k. Numãrul total al acestora se noteazã cu Akn si este dat de furmula:

Akn = n.(n-1).(n-2) .….(n-k+1) (1.3)

În formula (1.3) avem exact k factori. De exemplu, A410 = 10.9.8.7 = 5040. Dacã considerãm multimea M={1,2,3,4,5} numãrul A25=5.4=20 reprezintã numãrul de aranjamente de 5 obiecte luate câte 2, iar acestea sunt: 1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (3,2), (4,2), (5,2), (4,3), (5,3), (5,4).
Cea mai utilã formulã legatã de aranjamente este urmãtoarea:

Akn = n!/(n-k)! (1.4)

Se observã usor cã Ann= n!, datoritã conventiei mentionate anterior. De asemenea avem cã A0n = 1, în virtutea formulei (1.4).

2.3. Combinãri
Atunci când ne intereseazã grupãri ale unui numãr dat de obiecte, în care ordinea acestor obiecte nu intereseazã, spunem cã avem de-a face cu combinãri ale acestor obiecte. Fie M o multime cu n elemente distincte. Combinãrile de n obiecte luate câte k se noteazã cu Ckn. Numãrul total al acestora este dat de formula:

Ckn = Akn / Pk = n! / [k!(n-k)!] (1.5)

Luând acelasi exemplu de mai sus cu multimea M = {1,2,3,4,5}, avem cã Ckn = 10, iar acestea sunt: 1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5).
Cea mai importantã proprietate a combinãrilor este cea legatã de complementareitate si este exprimatã de formula:

Ckn = Cn-kn (1.6)

Se observã usor cã C0n = Cnn = 1.

2.4. Binomul lui Newton

Se considerã dezvoltarea binomialã cunoscutã sub numele de formula binomului lui Newton:

(atb)n = C0nanb0 t C1nan-1b1 + C2nan-2b2 t … + (-1)kCknan-kbk + … + (-1)nCnna0bn. (1.7)

Coeficientii C0n, C1n, C2n, …, Cnn din aceastã dezvoltare se numesc coeficienti binomiali. Termenul general al dezvoltãrii este dat de formula:
Tk+1 = (-1)kCknan-kbk, k=0,1,2,…,n (1.8)

3. Elemente de calculul probabilitãtilor

3.1. Eveniment. Frecventã. Probabilitate
Prin experientã aleatoare se întelege o experientã al cãrei rezultat, numit probã, variazã la întâmplare.
Un eveniment desemneazã aparitia sau producerea si, tot asa de bine, neaparitia sau neproducerea unui anumit fenomen sau unei anumite situatii. El este legat de o anumitã experientã.
Un eveniment este numit sigur sau cert dacã suntem informati suficient de bine cã s-a produs sau se va produce în viitor cu sigurantã; în caz contrar avem de-a face cu evenimentul incert. Altfel spus, faptul cã un eveniment este cert sau incert este o apreciere a celui care decide pe baza informatiilor disponibile la un moment dat si nu neapãrat o caracteristicã intrinsecã sau obiectivã a acestui eveniment. În fapt, producerea unui eveniment este strâns legatã de realizarea unui anumit numãr de conditii. Astfel, evenimentul sigur poate fi considerat ca fiind acela care se produce de fiecare datã când sunt realizate conditiile.
Evenimentul imposibil este acel eveniment care nu se poate produce niciodatã atunci când conditiile sunt realizate. Evenimentul aleator sau incert este acela care în prezenta conditiilor se poate produce sau nu.
Presupunem cã avem de-a face cu extragerea unei bile dintr-o urnã care contine 7 bile albe si 3 bile negre. Se mai presupune cã toate cele 10 bile sunt perfect identice ca formã, dimensiune si greutate, singura caracteristicã distinctivã fiind culoarea. Aceastã din urmã conditie trebuie sã ne asigure cã orice extragere se va face de fiecare datã în conditii identice, eliminând din experientã orice element care poate favoriza oricât de putin extragerea unei bile înaintea celorlalte. Teoretic, putem considera cã avem de-a face cu conditii ideale de efectuare a experientei propuse. De asemenea, vom considera cã extragerea din urnã se va efectua astfel încât nici un operator uman sau de altã naturã sã nu poatã "vedea" sau interveni în vreun fel în selectarea vreunei bile anume.
Punând de fiecare datã bila extrasã înapoi în urnã, vom extrage si vom nota de fiecare datã culoarea bilei care apare.
Considerãm urmãtoarele evenimente:
E1 = "se extrage o bilã albã",
E2 = "se extrage o bilã neagrã".
Vom face urmãtoarele observatii. Fie n numãrul experientelor efectuate pânã la un moment dat, iar k numãrul de realizãri ale evenimentului E1, adicã numãrul de aparitii ale unei bile albe. Se va putea observa cã raportul k/n tinde sã se stabilizeze în jurul unei anumite valori, aceasta fiind egalã cu 7/10. Cu cât numãrul de experiente efectuate este mai mare, cu atât mai bine se poate constata cã raportul vizat anterior se va apropia din ce în ce mai mult de valoarea 7/10, aceastã tendintã astfel din ce în ce mai evidentã.
Raportul k/n se numeste frecventã. Prin stabilitatea frecventei întelegem proprietatea evidentiatã mai sus de a se apropia de o anumitã valoare când numãrul experientelor creste. Aceastã valoare este numitã probabilitatea evenimentului E1 si se noteazã cu p(E1).
În mod analog, putem aprecia si probabilitatea evenimentului E2, p(E2)=3/10.
În toate cele considerate în continuare ne vom referi numai la experiente cu un numãr finit de cazuri posibile. Un asemenea model este cel prezentat mai sus referitor la extragerea bilelor din urnã. Dacã toate bilele sunt de aceeasi formã, dimensiune si greutate, atunci nu avem nici un motiv serios sã credem cã, dacã facem un numãrsuficient de mare de extrageri (punând de fiecare datã bila extrasã înapoi în urnã), vreuna dintre bile va apãrea cu o frecventã mai mare sau mai micã decât celelalte.
Rationamentul pentru determinarea probabilitãtilor în cazul finit poate fi ameliorat substantial prin utilizarea unor notiuni noi precum: numãr de cazuri egal posibile si numãr de cazuri egal favorabile. În exemplul de mai sus, pentru extragerea unei bile aflate în urnã sunt posibile în mod egal exact 10 cazuri, acesta fiind de fapt numãrul total de bile aflate în urnã înaintea efectuãrii experientei. Cum printre eceatea sunt doar 7 bile care ne intereseazã pe noi - cele 7 bile albe legate de evenimentul E1 - spunem cã avem de-a face cu 7 cazuri favorabile. În acest mod intuitiv, probabilitatea de realizare a unui eveniment ar putea fi consideratã ca fiind egalã cu raportul dintre numãrul cazurilor favorabile evenimentului respectiv si numãrul cazurilor egal posibile.
…

Capitolul complet îl gasesti în manualul «Din tainele jocurilor de loterie»

3.2. Probabilitate conditionatã. Dependenta si independenta

3.3. Formule si scheme probabilistice

3.3.1. Regula de înmultire a probabilitãtilor

3.3.2. Formula probabilitãtii totale

3.3.3. Formula lui Bayes

3.3.4. Schema bilei neîntoarse

3.3.5. Schema lui Poisson

3.3.6. Schema binomialã (Bernoulli)

3.3.7. Ruina jucãtorului

3.4. Variabile aleatoare

3.4.1. Valoarea medie si abaterea medie pãtraticã

3.5. Legea numerelor mari

Capitolul complet îl gasesti în manualul «Din tainele jocurilor de loterie»